考纲要求
- 理解原码由符号位和数值位组成，最高位为 0 表示正数、为 1 表示负数。
- 掌握负数反码与补码的求法：反码是符号位不变、数值位取反，补码是反码再加 1。
- 知道正数的原码、反码、补码三者相同。
- 理解补码能把减法转成加法，使计算机用同一套加法电路完成加减运算。
典型题型
- 给出一个十进制负数，要求写出它在 8 位下的原码、反码和补码。
- 给出补码，要求还原成十进制数。
- 判断若干说法，例如「补码 10000000 表示 -0」。
常见错误
- 求负数的反码时把符号位也取反，导致结果错误。反码只把数值位取反，符号位保持为 1。
- 补码求法记成「数值位取反后不加 1」，忘了末尾加一。
- 把 8 位补码的范围记成 -128 到 128。实际是 -128 到 127，正数没有 128。
- 以为补码 10000000 表示 -0。补码中 0 只有一种表示，10000000 表示 -128。
深入理解
三种编码只差一步
以 8 位为例，编码一个整数分三步：
- 原码：最高位当符号位（0 表示正，1 表示负），其余位写绝对值的二进制。所以 -5 的原码是
10000101。 - 反码：正数的反码与原码相同；负数的反码是符号位不动，其余各位取反。-5 的反码是
11111010。 - 补码：反码加 1。-5 的补码是
11111011。
记忆口诀是「正数三码相同，负数原码 → 取反 → 加一」。反过来由补码求原码，同样走「减一 → 取反」，因为这两步互为逆运算。题目常给一个补码让你求十进制值，稳妥做法是先判断符号位：最高位是 0 直接按位权算，最高位是 1 就减一取反得到原码，再读出绝对值加负号。
为什么非要用补码
用原码表示时有两个麻烦：一是 0 有两种写法（00000000 和 10000000），判断「是不是 0」要写两次；二是减法要单独设计一套电路。
补码同时解决这两个问题。0 只有一种表示，而且减法可以改写成加法：a - b 等价于 a + (-b)，CPU 只需要一个加法器就能同时完成加减。「把减法变成加法，让 0 表示唯一」是补码存在的全部理由，简答题只要答到这两点就够了。
8 位能表示的范围不对称
8 位补码的范围是 -128 到 127，负数比正数多一个。原因是 10000000 这个码不再表示「负零」，而被规定为 -128。理解这一点，遇到「8 位补码能表示多少个数」时答案就是 256 个，遇到「超出范围会怎样」时答案是溢出回绕：127 加 1 变成 -128，这是位运算题里常见的坑。
n 位补码的范围可以记成 -2^(n-1) 到 2^(n-1) - 1。16 位是 -32768 到 32767，32 位是 -2147483648 到 2147483647，这两个数在竞赛题里出现频率很高。
自编例题
求 -5 的 8 位原码、反码与补码
用 8 位二进制写出十进制 -5 的原码、反码和补码。
// 8 位补码 11111011 按有符号数解释
char c = (char)0xFB; // 0xFB = 251
cout << (int)c << endl; // 输出 -5-5 的绝对值是 5，8 位二进制写作 0000 0101。符号位置 1 得到原码 1000 0101。反码保留符号位，其余位取反，得到 1111 1010。补码在反码末位加 1，得到 1111 1011，也就是十六进制的 0xFB。把它按有符号 char 解释时，最高位为 1 代表负数，结果为 -5；若按无符号数解释则是 251。同一串二进制，类型不同解释就不同。
相关真题
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常见问题
为什么计算机用补码表示整数？
补码让加法和减法共用同一套电路，0 也只有一种表示，简化了硬件设计，同时扩大了可表示的负数范围。
8 位补码能表示的范围是多少？
范围是 -128 到 127。最高位为符号位，剩下 7 位表示数值，负数比正数多一个。
原码里有 +0 和 -0 吗？
原码中 00000000 和 10000000 分别表示 +0 和 -0，出现两个零；补码中零只有 00000000 一种表示。