考纲要求
- 理解按位与 &、按位或 |、按位取反 ~、按位异或 ^ 是逐位运算，每一位独立计算。
- 掌握左移 << 与右移 >> 的效果：左移 k 位相当于乘以 2 的 k 次方，非负整数右移 k 位相当于整除 2 的 k 次方。
- 会利用与运算判断某一位是否为 1，例如 x & 1 判断奇偶。
- 会利用异或的性质完成交换两个数、找只出现一次的数等基础应用。
典型题型
- 给出两个整数，要求写出按位与、按位或、按位异或的结果。
- 判断 x 左移 2 位是否等价于 x 乘以 4。
- 用位运算实现判断奇偶或取出二进制第 k 位。
常见错误
- 把位运算与逻辑运算混用，把 a & b 当成逻辑与。逻辑与写作 &&，结果是真或假。
- 以为右移对负数也等于整除。负数右移的具体行为与实现有关，应避免依赖。
- 以为 ~x 等于 -x。取反是把每一位翻转，x 与其取反值满足 x + ~x 等于 -1。
- 左移导致溢出，越界的位被丢弃，结果不再等于乘以 2 的幂。
深入理解
六种运算按位独立计算
&与：两位都是 1 结果才是 1。|或：两位有一个是 1 结果就是 1。^异或：两位不同结果是 1，相同是 0。~非：逐位取反，一位一元运算。<<左移：整体往左挪 n 位，低位补 0，相当于乘 2ⁿ。>>右移：整体往右挪 n 位，相当于除以 2ⁿ 并向下取整。
「按位独立」意味着没有任何进位和借位，所以每一步都可以单独算。例如 6 & 3：110 & 011 = 010，结果是 2。写的时候把两个数上下对齐、逐列运算，比心算可靠。
四个能自己推出来的用法
理解原理后，这些技巧不需要背：
- 判断奇偶：
x & 1，末位是 1 就是奇数。因为二进制末位就是 2⁰ 位。 - 取第 k 位：
(x >> k) & 1，右移到最低位再取出。 - 把第 k 位置 1：
x | (1 << k)，用或运算不影响其他位。 - 把第 k 位清 0：
x & ~(1 << k)，先构造出只有第 k 位是 0 的掩码。
异或还有一个经典用法是不借助临时变量交换两个数：a ^= b; b ^= a; a ^= b;。原理是「同一个数异或两次会还原」，了解即可，实际编程仍推荐用临时变量。
移位与溢出的边界
左移 n 位等价于乘以 2ⁿ，但当结果超出类型的表示范围时会丢高位。8 位里 127 << 1 得到的是 -2，因为最高位的 1 被当成了符号位。移位不会自动扩展宽度，这一点在题目里常表现为「移位后结果变成负数」。
右移分算术右移和逻辑右移：对有符号数，多数实现采用算术右移，高位补符号位，所以负数右移保持负数；对无符号数，高位一律补 0。一级二级的程序里一般只处理正数，不容易撞上这个差别，但题目若给出负数移位，务必先想清楚补的是 0 还是 1。
自编例题
位运算的两个常见用法
不借助临时变量交换两个整数，并用与运算判断一个数的奇偶。
int a = 5, b = 9;
a ^= b; b ^= a; a ^= b; // 交换后 a = 9, b = 5
if ((a & 1) == 0) cout << "even" << endl;
else cout << "odd" << endl;异或满足交换律和自反性：x 异或 x 等于 0，x 异或 0 等于 x。连续三次异或后 a 与 b 的值互换，且不需要额外变量。整数的最低位决定奇偶，a & 1 只保留最低位，结果为 1 是奇数、为 0 是偶数。这种写法在考试中主要考查运算过程，实际工程里用临时变量交换更易读。另外要注意运算符优先级，位运算通常低于比较运算，需要加括号。
相关真题
这块内容在整条路线里的位置：GESP C++ 3 级备考路径。
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先做一套本级别测评，报告会指出哪些知识点需要重点补；再回到本页对照考纲要求逐条核对，把不确定的条目记下来集中练。
常见问题
& 和 && 有什么区别？
& 是按位与，对两个整数的每一位分别计算；&& 是逻辑与，判断两个条件是否同时为真，结果只有真或假。
异或有什么常见用途？
可以交换两个数、判断两个数是否相等、找出一组数中只出现一次的那个数，因为相同值异或为 0、任何值与 0 异或不变。
左移右移的优先级高吗？
移位运算的优先级低于加减、高于比较。混合表达式容易看错，最好用括号明确计算顺序。