进制转换：GESP C++ 3 级知识点

考纲要求

理解每种进制的基数和位权，例如二进制第 k 位的位权是 2 的 k 次方，k 从 0 开始。
掌握任意进制转十进制的方法：各位数字乘以对应位权后求和。
掌握十进制转任意进制的方法：除基数取余，把余数倒序排列。
记住二、八、十六进制之间的快速对应：每 3 位二进制对应 1 位八进制，每 4 位对应 1 位十六进制。

典型题型

给出二进制或十六进制数，要求转成十进制。
给出十进制数，要求转成二进制或十六进制。
在二进制、八进制、十六进制之间直接转换。

常见错误

把位权从 1 开始算，导致整体结果差一倍。最右边一位是 2 的 0 次方，值为 1。
十进制转二进制时把余数按正序写出，忘了倒序。
十六进制中出现大于 9 的位时把它当十进制数字计算，忘记 A 到 F 分别代表 10 到 15。
二进制转八进制时分组方向正确，但左侧不足 3 位时补零补到了右边。

深入理解

两个方向，两套固定动作

十进制转其他进制：除基取余，逆序排列。以 45 转二进制为例：45 ÷ 2 余 1、22 余 0、11 余 1、5 余 1、2 余 0、1 余 1，从下往上读得 101101。每一步的除数都是目标进制，余数从后往前排，顺序写反是最高频的错误。

其他进制转十进制：按权展开求和。二进制 101101 从右往左的位权是 1、2、4、8、16、32，把位上是 1 的权加起来：32 + 8 + 4 + 1 = 45。十六进制同理，位权是 16 的幂，权值要乘以该位上的数字（A 到 F 分别是 10 到 15）。

二进制和八、十六进制是「分组」关系

因为 8 = 2³、16 = 2⁴，二进制转八进制只要从右往左每 3 位一组，转十六进制每 4 位一组，组内直接查表。最高位不足一组时在左边补零，而不是右边——补错边是另一个高频错误。

例如 101101 转八进制：分成 101 和 101，即 5 和 5，结果是 55；转十六进制：分成 0010 和 1101，即 2 和 D，结果是 2D。反过来由八进制或十六进制转二进制，把每一位展开成 3 位或 4 位即可，前导零可以省略。

C++ 里怎么写不同进制的常量

十进制直接写，例如 45；八进制加前导 0，例如 055 表示十进制的 45；十六进制加 0x，例如 0x2D；C++14 起支持二进制前缀 0b，例如 0b101101。这四种写法在程序里是同一个值，只在字面量层面不同。

输出时默认用十进制。要输出其他进制，可以用 oct、hex、bitset。需要特别小心八进制前导 0：写 int a = 010; 得到的是 8 而不是 10，这是打印调试时最迷惑的现象之一。

自编例题

同一个数的三种写法

把二进制 101101 分别转成十进制和十六进制。

int n = 0b101101;         // C++14 支持二进制字面量
cout << n << endl;         // 45
cout << hex << n << endl;  // 2d

按权展开：1 乘 32 加 0 乘 16 加 1 乘 8 加 1 乘 4 加 0 乘 2 加 1 乘 1 等于 45，所以十进制是 45。把 101101 从右往左每 4 位一组，得到 0010 与 1101，分别对应十六进制的 2 和 D，合起来是 0x2D。反过来，45 除以 16 商 2 余 13，13 写作 D；2 除以 16 商 0 余 2，把余数倒序读出就是 2D。

开始练习

先做一套本级别测评，报告会指出哪些知识点需要重点补；再回到本页对照考纲要求逐条核对，把不确定的条目记下来集中练。

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常见问题

为什么计算机使用二进制？

二进制只有 0 和 1，容易用电路的通断两种状态表示，抗干扰强，运算规则也最简单。

为什么十六进制很常见？

4 位二进制正好对应 1 位十六进制，书写比二进制短得多，又能直接对应内存中的位模式，便于阅读和调试。

负数的进制转换怎么处理？

先确定采用几位表示，再转换成补码形式，然后按位分组或按权展开。不能直接对绝对值做转换。

本级别其他知识点

数据编码（原码、反码、补码）位运算算法的概念与描述一维数组基本应用字符串及其函数算法：枚举法算法：模拟法

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